Medan Listrik Piringan : Rumus dan Penurunan

By a Guy Who Teaches Physics for Fun
Gambar Medan Listrik Piringan

Rumus Medan Listrik Piringan

Medan listrik di sebuah titik pada sumbu z oleh piringan bermuatan merata memiliki rumus sebagai berikut :
Rumus medan listrik oleh piringan
* Rumus hanya berlaku jika titik berada pada sumbu z (poros piringan). Ketika z<0, besar medan listrik tetap dapat dihitung menggunakan rumus ini tetapi arahnya menjadi berlawanan.
Bagikan Ke Teman Anda

Penurunan Rumus Medan Listrik Piringan

Penurunan medan listrik piringan
Sebuah piringan dengan jari-jari R memiliki muatan yang terdistribusi merata dengan total Q . Piringan ini bersifat imaginatif yaitu tidak memiliki ketebalan tetapi memiliki luas A .  Titik P terletak pada sumbu poros piringan. Titik P memiliki jarak z dari pusat piringan. Kita akan menurunkan rumus medan listrik pada titik P.

Pertama kita akan bagi piringan menjadi segmen-segmen kecil berupa cincin. Cincin memiliki jari-jari r_{i} dan ketebalan cincin adalah dr. Luas cincin adalah 2\pi r_{i}d r dan muatan cincin adalah dQ. Penurunan rumus medan listrik oleh cincin telah dibahas, kita mengedit sedikit rumus tersebut agar sesuai dengan kasus ini. Medan listrik pada titik P akibat segmen cincin adalah:

\begin{aligned} (E_{i})_{z}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{z d Q_{i}}{\left(z^{2}+r_{i}^{2}\right)^{3 / 2}} \end{aligned}
Selanjutnya kita masukkan dQ=2 \pi \eta r \; dr, persamaan menjadi
\begin{aligned} (E_{i})_{z}&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{z 2 \pi \eta r \; dr}{\left(z^{2}+r_{i}^{2}\right)^{3 / 2}}\\ \\ &=\frac{\eta z}{2 \epsilon_{0}} \frac{ r \; dr}{\left(z^{2}+r_{i}^{2}\right)^{3 / 2}} \end{aligned}
Kita dapat melakukan integral untuk mendapatkan medan listrik pada titik P oleh keseluruhan piringan.
\begin{aligned} \left(E_{\text {piringan }}\right)_{z}=\frac{\eta z}{2 \epsilon_{0}}\int_{0}^{R} \frac{ r \; dr}{\left(z^{2}+r_{i}^{2}\right)^{3 / 2}} \end{aligned}
Lakukan teknik integral seperti berikut
u=z^{2}+r^{2}
d u=2 r d r
r d r=\frac{1}{2} d u
Batas bawah integral adalah r=0
Sehingga variable barunya adalah u=z^2 .
Batas atas integral adalah r=R
Sehingga u=z^{2}+R^{2}

Dengan variabel tersebut akhirnya kita mendapatkan integral dalam bentuk berikut

\begin{aligned} \left(E_{\text {piringan }}\right)_{z}&=\frac{\eta z}{2 \epsilon_{0}} \frac{1}{2} \int_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}} \frac{d u}{u^{3 / 2}}\\ \\ &=\left.\frac{\eta z}{4 \epsilon_{0}} \frac{-2}{u^{1 / 2}}\right|_{z^{2}} ^{z^{2}+R^{2}}\\ \\ &=\frac{\eta z}{2 \epsilon_{0}}\left[\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right] \end{aligned}

Selanjutnya kita kalikan sisi kanan dan kiri dengan z/z akhirnya kita mendapatkan persamaan akhir piringan

\begin{aligned} \left(E_{\mathrm{piringan}}\right)_{z}=\frac{\eta}{2 \epsilon_{0}}\left[1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right] \end{aligned}
Persamaan tersebut hanya valid untuk z > 0 . Apabila z < 0 maka medan listrik memiliki besar yang sama sebagaimana persamaan tersebut tetapi berlawanan arah.
Bagikan Ke Teman Anda
Pos Terkait

Tinggalkan Balasan