Medan Listrik Piringan : Rumus dan Penurunan

By a Guy Who Teaches Physics for Fun
Gambar Medan Listrik Piringan

Rumus Medan Listrik Piringan

Medan listrik di sebuah titik pada sumbu z oleh piringan bermuatan merata memiliki rumus sebagai berikut :
Rumus medan listrik oleh piringan
* Rumus hanya berlaku jika titik berada pada sumbu z (poros piringan). Ketika z<0, besar medan listrik tetap dapat dihitung menggunakan rumus ini tetapi arahnya menjadi berlawanan.
Share on whatsapp
Share on facebook
Share on twitter
Share on telegram
Bagikan Ke Teman Anda

Penurunan Rumus Medan Listrik Piringan

Penurunan medan listrik piringan
Sebuah piringan dengan jari-jari R memiliki muatan yang terdistribusi merata dengan total Q . Piringan ini bersifat imaginatif yaitu tidak memiliki ketebalan tetapi memiliki luas A .  Titik P terletak pada sumbu poros piringan. Titik P memiliki jarak z dari pusat piringan. Kita akan menurunkan rumus medan listrik pada titik P.

Pertama kita akan bagi piringan menjadi segmen-segmen kecil berupa cincin. Cincin memiliki jari-jari r_{i} dan ketebalan cincin adalah dr. Luas cincin adalah 2\pi r_{i}d r dan muatan cincin adalah dQ. Penurunan rumus medan listrik oleh cincin telah dibahas, kita mengedit sedikit rumus tersebut agar sesuai dengan kasus ini. Medan listrik pada titik P akibat segmen cincin adalah:

\begin{aligned} (E_{i})_{z}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{z d Q_{i}}{\left(z^{2}+r_{i}^{2}\right)^{3 / 2}} \end{aligned}
Selanjutnya kita masukkan dQ=2 \pi \eta r \; dr, persamaan menjadi
\begin{aligned} (E_{i})_{z}&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{z 2 \pi \eta r \; dr}{\left(z^{2}+r_{i}^{2}\right)^{3 / 2}}\\ \\ &=\frac{\eta z}{2 \epsilon_{0}} \frac{ r \; dr}{\left(z^{2}+r_{i}^{2}\right)^{3 / 2}} \end{aligned}
Kita dapat melakukan integral untuk mendapatkan medan listrik pada titik P oleh keseluruhan piringan.
\begin{aligned} \left(E_{\text {piringan }}\right)_{z}=\frac{\eta z}{2 \epsilon_{0}}\int_{0}^{R} \frac{ r \; dr}{\left(z^{2}+r_{i}^{2}\right)^{3 / 2}} \end{aligned}
Lakukan teknik integral seperti berikut
u=z^{2}+r^{2}
d u=2 r d r
r d r=\frac{1}{2} d u
Batas bawah integral adalah r=0
Sehingga variable barunya adalah u=z^2 .
Batas atas integral adalah r=R
Sehingga u=z^{2}+R^{2}

Dengan variabel tersebut akhirnya kita mendapatkan integral dalam bentuk berikut

\begin{aligned} \left(E_{\text {piringan }}\right)_{z}&=\frac{\eta z}{2 \epsilon_{0}} \frac{1}{2} \int_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}} \frac{d u}{u^{3 / 2}}\\ \\ &=\left.\frac{\eta z}{4 \epsilon_{0}} \frac{-2}{u^{1 / 2}}\right|_{z^{2}} ^{z^{2}+R^{2}}\\ \\ &=\frac{\eta z}{2 \epsilon_{0}}\left[\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right] \end{aligned}

Selanjutnya kita kalikan sisi kanan dan kiri dengan z/z akhirnya kita mendapatkan persamaan akhir piringan

\begin{aligned} \left(E_{\mathrm{piringan}}\right)_{z}=\frac{\eta}{2 \epsilon_{0}}\left[1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right] \end{aligned}
Persamaan tersebut hanya valid untuk z > 0 . Apabila z < 0 maka medan listrik memiliki besar yang sama sebagaimana persamaan tersebut tetapi berlawanan arah.
Share on whatsapp
Share on facebook
Share on twitter
Share on telegram
Bagikan Ke Teman Anda
Pos Terkait

Tinggalkan Balasan