Perkalian Vektor: Cara Melakukan Perkalian Dot dan Perkalian Cross Berserta Contoh Soal dan Pembahasan

By a Guy Who Teaches Physics for Fun
Top page
Tutor Online Gratis

Aku bisa bantu kamu belajar fisika atau ngerjakan soal tugas kamu lewat zoom/discord/google meet. Kamu berminat? tekan tombol di bawah

Saya berminat
Choose language:

Perkalian Vektor

Bagaimana sih cara melakukan perkalian vektor?
Perkalian vektor ada 2 macam yaitu perkalian dot(dot product) dan perkalian cross(cross product). Perkalian dot menghasilkan skalar sedangkan perkalian cross menghasilkan vektor. Caranya kami jelaskan di bawah ini.
Share on whatsapp
Share on facebook
Share on twitter
Share on telegram
Bagikan ke Teman Anda

Perkalian Dot(Dot Product)

Vektor dot product
Gambar Vektor A dan Vektor B dengan sudut \theta antara kedua vektor tersebut
Misalkan terdapat vektor \overrightarrow{A}=A_x \hat{i}+ A_y \hat{j}+A_z \hat{k} dan vektor \overrightarrow{B}=B_x \hat{i}+ B_y \hat{j}+B_z \hat{k}. Kita dapat melakukan operasi perkalian dot terhadap kedua vektor tersebut yang secara matematis kita tuliskan sebagai berikut.
\begin{aligned} \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B} \end{aligned}
Penyelesaian dari perkalian dot adalah sebagai berikut.
\begin{aligned} \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=A_xB_x + A_yB_y +A_zB_z \end{aligned}
atau
\begin{aligned} \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=AB \cos{\theta} \end{aligned}
\theta adalah sudut antara \overrightarrow{A} dan \overrightarrow{B}
Kita dapat menghitung sudut antara 2 vektor \theta menggunakan rumus berikut.
\begin{aligned} \cos{\theta}=&\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{AB} \end{aligned}

• Contoh Soal Perkalian Vektor

Hitunglah operasi perkalian vektor \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{X} di mana \overrightarrow{F}=3 \hat{i} -4 \hat{j}+6 \hat{k} dan \overrightarrow{X}=-7 \hat{i}+ 5 \hat{j}-8 \hat{k}. Sudut antara 2 vektor adalah \theta=165.9374047^\circ.

Penyelesaian

\begin{aligned} \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{X}=&F_xX_x + F_yX_y +F_zX_z\\ =&(3)(-7)+ (-4)(5) +(6)(-8)\\ =&-89 \end{aligned}
Kita juga dapat menyelesaikannya dengan cara alternatif sebagai berikut.
Pertama kita cari besar vektor F.
\begin{aligned} {F}=&\sqrt{{F_x}^2+{F_y}^2+{F_z}^2}\\ =&\sqrt{{3}^2+{-4}^2+{6}^2}\\ =&\sqrt{61} \end{aligned}
Selanjutnya kita cari besar vektor X.
\begin{aligned} {X}=&\sqrt{{X_x}^2+{X_y}^2+{X_z}^2}\\ =&\sqrt{{-7}^2+{5}^2+{-8}^2}\\ =&\sqrt{138} \end{aligned}
Terakhir kita hitung perkalian dot \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{X}
\begin{aligned} \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{X}=&FX \cos{\theta}\\ =&\sqrt{61} \sqrt{138}\cos{165.9374047}\\ =&-89 \end{aligned}

• Contoh Soal Perkalian Vektor pada Penghitungan Usaha Fisika

Usaha dalam fisika memiliki rumus W=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} di mana \overrightarrow{F} merupakan gaya(N) dan \overrightarrow{d} adalah perpindahan.
Perkalian vektor dot pada usaha
Perhatikan gambar di atas. Diketahui sebuah benda mengalami gaya sebesar 30 N dan berpindah sejauh 50 meter. Terdapat sudut antara vektor gaya dan vektor perpindahan yaitu \theta=30^\circ. Hitunglah usaha yang benda alami.

Penyelesaian

\begin{aligned} W=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}=&Fd\cos{\theta}\\ =&(30)(50)\cos{30^\circ}\\ =&1299 \;\text{Joule} \end{aligned}

Perkalian Cross(Cross Product)

Diketahui vektor \overrightarrow{A}=A_x \hat{i}+ A_y \hat{j}+A_z \hat{k} dan vektor \overrightarrow{B}=B_x \hat{i}+ B_y \hat{j}+B_z \hat{k}. Kita dapat melakukan operasi perkalian cross terhadap kedua vektor tersebut yang secara matematis kita tuliskan seperti berikut.
\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}
Penyelesaian operasi perkalian vektor merupakan perhitungan determinan sebagai berikut.
\begin{aligned} \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}=& \begin{vmatrix} \hat{i} &\hat{j} &\hat{k} \\ A_x &A_y &A_z \\ B_x &B_y &B_z \end{vmatrix}\\ =&\begin{vmatrix} A_y & A_z \\ B_y & B_z \end{vmatrix}\hat{i}-\begin{vmatrix} A_x & A_z \\ B_x & B_z \end{vmatrix}\hat{j}+\begin{vmatrix} A_x & A_y \\ B_x & B_y \end{vmatrix}\hat{k}\\ =&(A_yB_z-A_zB_y)\hat{i}-(A_xB_z-A_zB_x)\hat{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\hat{k}\\ =&(A_yB_z-A_zB_y)\hat{i}+(A_zB_x-A_xB_z)\hat{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\hat{k} \end{aligned}
\begin{aligned} \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}=& \begin{vmatrix} \hat{i} &\hat{j} &\hat{k} \\ A_x &A_y &A_z \\ B_x &B_y &B_z \end{vmatrix}\\ =&\begin{vmatrix} A_y & A_z \\ B_y & B_z \end{vmatrix}\hat{i}-\begin{vmatrix} A_x & A_z \\ B_x & B_z \end{vmatrix}\hat{j}+\begin{vmatrix} A_x & A_y \\ B_x & B_y \end{vmatrix}\hat{k}\\ \end{aligned}
\begin{aligned} =&(A_yB_z-A_zB_y)\hat{i}-(A_xB_z-A_zB_x)\hat{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\hat{k}\\ =&(A_yB_z-A_zB_y)\hat{i}+(A_zB_x-A_xB_z)\hat{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\hat{k} \end{aligned}
Dapat kita lihat bahwa hasil \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} adalah sebuah vektor. Besar atau panjang vektor hasil \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} kita beri lambang \left |A \times B \right | dan memiliki rumus sebagai berikut.
\left |A \times B \right |=AB\sin{\theta}
Cross product dari \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} menghasilkan vektor baru yang dapat kita beri simbol \overrightarrow{c}. Vektor \overrightarrow{c} sendiri adalah vektor yang memiliki arah saling tegak lurus dengan vektor \overrightarrow{A} dan \overrightarrow{B}. Perhatikan gambar berikut.
Hasil dari cross product selalu tegak lurus dengan bidang A dan B

Aturan Tangan Kanan

Terdapat metode yang dapat kita gunakan untuk menemukan arah dari hasil cross product yaitu aturan tangan kanan.
Gunakan tangan kanan Anda dan buatlah gesture seperti gambar di bawah ini.
Misalkan Anda melakukan operasi \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}=\overrightarrow{c}. Arahkan jempol Anda sesuai dengan arah vektor \overrightarrow{A} kemudian arahkan jari telunjuk Anda sesuai dengan arah vektor \overrightarrow{B} dengan begitu arah jari tengah Anda menjadi arah vektor \overrightarrow{c}

• Contoh Soal Perkalian Cross

Diketahui vektor \overrightarrow{A}=9 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k} dan \overrightarrow{B}=-4 \hat{i}+6 \hat{j}-7 \hat{k}. Tentukan hasil perkalian vektor dari \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}.

Penyelesaian

\begin{aligned} \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}=& \begin{vmatrix} \hat{i} &\hat{j} &\hat{k} \\ 9 &5 &-3 \\ -4 &6 &-7 \end{vmatrix}\\ =&\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -7 \end{vmatrix}\hat{i}-\begin{vmatrix} 9 & -3 \\ -4 & -7 \end{vmatrix}\hat{j}+\begin{vmatrix} 9 & 5 \\ -4 & 6 \end{vmatrix}\hat{k}\\ =&(-35+18) \hat{i}-(-63-12)\hat{j}+(54+20)\hat{k}\\ =&-17 \hat{i}+75 \hat{j}+74 \hat{k}\end{aligned}

• Contoh Soal Perkalian Cross pada Torsi Fisika

Dalam fisika, torsi adalah ukuran keefektifan suatu gaya untuk menyebabkan perputaran. Torsi memiliki rumus \overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}.
perkalian vektor cross dari torsi kunci inggris dan baut
Perhatikan gambar di atas. Sebuah kunci inggris digunakan untuk memutar sebuah baut. Vektor berwarna ungu adalah vektor gaya yang berlaku pada kunci inggris dan memiliki besar 10 N dan membentuk sudut \theta=45^\circ. Vektor merah adalah vektor lengan gaya dengan besar 35 cm. Hitunglah besar torsi yang baut alami.

Penyelesaian

\begin{aligned} \left |\tau \right |=&\left |r \right | \left |F \right |\sin{\theta}\\ =&(0,35)(10)\sin{45^\circ}\\ =&2.474873734 \;\text{Nm} \end{aligned}
Dengan menggunakan aturan tangan kanan, kita dapat mengetahui bahwa arah torsi yang baut alami adalah tegak lurus dengan layar laptop/smartphone Anda dan menuju wajah Anda.
Share on whatsapp
Share on facebook
Share on twitter
Share on telegram
Bagikan ke Teman Anda
Pos Terkait

Tinggalkan Balasan